Voici un calculateur en ligne gratuit de la constante de Kaprekar : entrez un nombre de 3 ou 4 chiffres et découvrez, étape par étape, comment la routine de Kaprekar le transforme jusqu'à atteindre la constante (6174 pour les nombres à 4 chiffres, 495 pour les nombres à 3 chiffres).

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Entrez un nombre de 3 ou 4 chiffres (avec au moins deux chiffres différents) :

Comment calculer la constante de Kaprekar en 4 étapes

La routine de Kaprekar (ou opération de Kaprekar) est un algorithme itératif extrêmement simple qui, appliqué de façon répétée, converge vers la constante 6174 (pour les nombres à 4 chiffres) ou 495 (pour les nombres à 3 chiffres). Voici comment procéder :

  1. Choisissez un nombre de 3 ou 4 chiffres avec au moins deux chiffres différents (ex. 3524).
  2. Réorganisez les chiffres dans l'ordre décroissant et dans l'ordre croissant pour obtenir deux nombres (5432 et 2345).
  3. Soustrayez le plus petit nombre du plus grand (5432 − 2345 = 3087).
  4. Répétez la procédure sur le résultat. En au plus 7 itérations pour les nombres à 4 chiffres (6 pour les nombres à 3 chiffres) vous obtiendrez toujours la constante de Kaprekar.

Exemple pratique : partons de 3524

Étape 1 : 5432 − 2345 = 3087
Étape 2 : 8730 − 0378 = 8352
Étape 3 : 8532 − 2358 = 6174  ✓

Qu'est-ce que la constante de Kaprekar ?

La constante de Kaprekar est le nombre 6174, qui possède une propriété extraordinaire : c'est l'unique nombre à 4 chiffres qui, en lui appliquant la routine de Kaprekar (la soustraction entre l'arrangement décroissant et croissant de ses chiffres), se reproduit lui-même. En termes mathématiques, c'est le point fixe de la routine dans l'espace des nombres à 4 chiffres :

7641 − 1467 = 6174

Le fait surprenant est que n'importe quel nombre à 4 chiffres avec au moins deux chiffres différents converge vers 6174 en au plus 7 itérations. La même propriété vaut pour le nombre 495 dans l'espace des nombres à 3 chiffres. En 1981 les mathématiciens G. D. Prichett et ses collaborateurs ont démontré rigoureusement qu'en base 10 les seules constantes de Kaprekar au sens strict (c'est-à-dire les points fixes qui attirent tous les nombres de leur propre longueur) sont 495 et 6174.

Qui était D. R. Kaprekar ?

Dattatreya Ramchandra Kaprekar (1905 – 1986) fut un mathématicien indien, instituteur autodidacte actif dans la ville de Devlali, dans le Maharashtra. Il est connu pour ses contributions aux mathématiques récréatives et à la théorie des nombres. Kaprekar décrivit pour la première fois la routine qui porte aujourd'hui son nom dans l'article « Another Solitaire Game », publié dans la revue Scripta Mathematica (volume 15, pages 244–245) en 1949. Six ans plus tard, en 1955, il revint sur le sujet avec un second article intitulé « An Interesting Property of the Number 6174 ».

Pourquoi arrive-t-on toujours à 6174 ?

L'explication réside dans la structure même de la soustraction en colonne. À chaque étape, les deux nombres impliqués dans la soustraction ont la même somme des chiffres : par conséquent, chaque résultat intermédiaire est toujours un multiple de 9. L'espace des résultats possibles se réduit rapidement, et la routine finit par attirer tous les nombres vers l'unique point fixe compatible avec ces contraintes : 6174. C'est un exemple parfait de comportement récursif convergent — un « attracteur » dans le langage des systèmes dynamiques.

Propriétés et curiosités

  • Les nombres avec tous les chiffres identiques (1111, 2222, ...) sont la seule exception : ils produisent 0 à la première étape.
  • Pour les nombres à 4 chiffres la convergence se produit en au plus 7 itérations selon la plupart des sources ; en moyenne 4 à 5 étapes suffisent.
  • Pour les nombres à 3 chiffres la constante est 495, atteinte en au plus 6 itérations.
  • 6174 et 495 sont tous les deux des multiples de 9 : 6174 = 2 × 3² × 7³ ; 495 = 3² × 5 × 11.
  • Pour les nombres à 5 chiffres la routine ne converge pas vers un point fixe : elle se termine dans l'un des trois cycles connus (ou en zéro).
  • Pour les nombres à 6 chiffres il existe deux points fixes (549945 et 631764), mais certains nombres entrent dans des cycles.

Questions fréquentes

Qu'est-ce que la constante de Kaprekar ?

La constante de Kaprekar est le nombre 6174, point fixe de la routine itérative découverte par le mathématicien indien Dattatreya Ramchandra Kaprekar, qu'il décrivit dans un article de 1949 publié dans Scripta Mathematica. En appliquant la routine à n'importe quel nombre de 4 chiffres avec au moins deux chiffres différents, on converge toujours vers 6174 en au plus 7 itérations.

Comment calcule-t-on le 6174 ?

On prend un nombre de 4 chiffres, on réorganise les chiffres dans l'ordre décroissant et croissant pour obtenir deux nombres, on soustrait le plus petit du plus grand et on répète la procédure sur le résultat. En au plus 7 itérations le résultat sera 6174.

Existe-t-il une constante de Kaprekar pour les nombres à 3 chiffres ?

Oui : c'est le nombre 495. En appliquant la même routine à un nombre de 3 chiffres avec au moins deux chiffres différents, on converge vers 495 en au plus 6 itérations. G. D. Prichett et ses collaborateurs ont démontré en 1981 qu'en base 10 les seules constantes de Kaprekar au sens strict (points fixes qui attirent tous les nombres de leur propre longueur) sont 495 et 6174.

Pourquoi arrive-t-on toujours à 6174 ?

Parce que 6174 est l'unique point fixe de la routine dans l'espace des nombres à 4 chiffres : en appliquant la routine à 6174 on obtient à nouveau 6174 (7641 − 1467 = 6174). De plus, chaque résultat intermédiaire est toujours un multiple de 9, ce qui réduit fortement l'espace des chemins possibles, et tous les nombres finissent par converger vers l'unique point fixe compatible.

La constante de Kaprekar fonctionne-t-elle aussi pour des nombres à 5 chiffres ou plus ?

Non, pas au sens strict. Pour les nombres à 5 chiffres la routine ne converge pas vers un unique point fixe : elle se termine dans l'un des trois cycles connus ou en zéro. Pour 6 chiffres il existe deux points fixes (549945 et 631764), mais tous les nombres n'y convergent pas, certains entrent dans des cycles.

Combien d'étapes faut-il pour atteindre 6174 ?

Au plus 7 itérations pour n'importe quel nombre de 4 chiffres avec au moins deux chiffres différents, selon Wikipedia et la plupart des sources. MathWorld de Wolfram indique 8 comme limite, probablement en comptant différemment les cas avec des zéros initiaux. En moyenne environ 4 à 5 étapes suffisent.

Qui a découvert la constante 6174 ?

Le mathématicien indien Dattatreya Ramchandra Kaprekar (1905–1986), qui décrivit la routine pour la première fois dans l'article « Another Solitaire Game » publié dans Scripta Mathematica, volume 15, pages 244–245, en 1949. Kaprekar revint sur le sujet avec des articles ultérieurs en 1955 (« An Interesting Property of the Number 6174 ») et en 1959.

Que se passe-t-il si j'entre un nombre avec tous les chiffres identiques ?

Un nombre avec tous les chiffres identiques (comme 1111 ou 333) donne 0 à la première étape et la routine s'arrête. C'est pourquoi le calculateur exige au moins deux chiffres différents.

Pour aller plus loin

Les cycles : quand la routine ne converge pas

La routine de Kaprekar ne produit pas toujours une constante. En général, en partant d'un nombre avec un certain nombre de chiffres, l'itération se termine de l'une de ces façons : en atteignant zéro (si le nombre de départ a tous les chiffres identiques), en atteignant une constante de Kaprekar (point fixe), ou en restant piégée dans un cycle de nombres qui se succèdent en se répétant.

Pour les nombres à 3 et à 4 chiffres il n'y a pas de cycles : on finit toujours à 0, 495 ou 6174. Mais dès les nombres à 5 chiffres trois cycles distincts apparaissent :

  • cycle de longueur 2 : { 53955, 59994 }
  • cycle de longueur 4 : { 61974, 82962, 75933, 63954 }
  • cycle de longueur 4 : { 62964, 71973, 83952, 74943 }

Pour les nombres à 6 chiffres on arrive à 0, aux constantes 549945 ou 631764, ou à l'un de divers cycles. Les nombres à 7 chiffres produisent également une variété de cycles.

Points fixes de la routine pour d'autres longueurs

Outre 495 (3 chiffres) et 6174 (4 chiffres), la carte de Kaprekar f(n) = n' − n'' (avec n' chiffres dans l'ordre décroissant, n'' croissant) a d'autres points fixes en base 10, catalogués dans la suite OEIS A099009. Les premiers sont :

  • 3 chiffres : 495
  • 4 chiffres : 6174
  • 6 chiffres : 549945, 631764
  • 8 chiffres : 63317664, 97508421
  • 9 chiffres : 554999445, 864197532
  • 10 chiffres : 6333176664, 9753086421, 9975084201

Attention à un point terminologique important : ces nombres sont des points fixes de la carte, mais ils ne sont pas des « constantes de Kaprekar » au sens propre — car, à l'exception de 495 et 6174, ils n'attirent pas tous les nombres de leur propre longueur (certains entrent dans des cycles). Prichett, Ludington et Lapenta ont démontré en 1981 que 495 et 6174 sont les seules vraies « constantes » en base 10.

La liste complète est consultable sur l'On-Line Encyclopedia of Integer Sequences à l'entrée A099009.

La routine dans des bases autres que 10

La routine de Kaprekar peut être appliquée dans n'importe quelle base b, pas seulement en base 10. Dans chaque base il existe des points fixes et des cycles différents. L'étude systématique du comportement de la routine selon la base et le nombre de chiffres est un domaine de recherche actif : Anthony Kay et Katrina Downes-Ward ont publié en 2022 et en 2024, dans le Journal of Integer Sequences et sur arXiv, des classifications complètes de points fixes et de cycles pour les bases paires et impaires.

Les suites OEIS correspondantes sont : A163205 (base 2), A164997 (base 3), A165016 (base 4), et ainsi de suite jusqu'à A099009 (base 10). Un résultat simple mais élégant : en base 2 tout « index de Kaprekar » (k₀, k₁) avec k₀ ≤ k₁ est un point fixe, et il n'existe pas de cycles de longueur supérieure à 1.

Sources et approfondissements

  • Kaprekar, D. R. — « Another Solitaire Game », Scripta Mathematica, vol. 15, pp. 244–245, 1949.
  • Kaprekar, D. R. — « An Interesting Property of the Number 6174 », Scripta Mathematica, 1955.
  • Prichett, G. D. ; Ludington, A. L. ; Lapenta, J. F. — « The determination of all decadic Kaprekar constants », Fibonacci Quarterly, 19:45–52, 1981.
  • Nishiyama, Yutaka — « Mysterious number 6174 », Plus Magazine, 2006. plus.maths.org
  • Kay, Anthony ; Downes-Ward, Katrina — « Fixed Points and Cycles of the Kaprekar Transformation », Journal of Integer Sequences, vol. 25, 2022.
  • Weisstein, Eric W. — « Kaprekar Routine » sur Wolfram MathWorld. mathworld.wolfram.com
  • OEIS A099009 — Fixed points of the Kaprekar mapping. oeis.org/A099009

Par Vincenzo Caserta — passionné par tout ce qui attire son attention. Pour d'autres aperçus de mathématiques curieuses, attendez qu'il sia intrigué par autre chose. 😂 En attendant, visitez les autres pages du blog où vous trouverez des approfondissements sur JD Edwards, la technologie et qui sait quoi d'autre.