Questo è un calcolatore online gratuito della costante di Kaprekar: inserisci un numero di 3 o 4 cifre e scopri, passo dopo passo, come la routine di Kaprekar lo trasforma fino a raggiungere la costante (6174 per i numeri a 4 cifre, 495 per i numeri a 3 cifre).

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Inserisci un numero di 3 o 4 cifre (con almeno due cifre diverse):

Come si calcola la costante di Kaprekar in 4 passi

La routine di Kaprekar (o operazione di Kaprekar) è un algoritmo iterativo semplicissimo che, applicato ripetutamente, converge alla costante 6174 (per i numeri a 4 cifre) o 495 (per i numeri a 3 cifre). Ecco come procedere:

  1. Scegli un numero di 3 o 4 cifre con almeno due cifre diverse (es. 3524).
  2. Riordina le cifre in ordine decrescente e in ordine crescente, ottenendo due numeri (5432 e 2345).
  3. Sottrai il numero più piccolo dal più grande (5432 − 2345 = 3087).
  4. Ripeti il procedimento sul risultato. In al massimo 7 iterazioni per numeri a 4 cifre (6 per numeri a 3 cifre) otterrai sempre la costante di Kaprekar.

Esempio pratico: partiamo da 3524

Passo 1: 5432 − 2345 = 3087
Passo 2: 8730 − 0378 = 8352
Passo 3: 8532 − 2358 = 6174  ✓

Cos'è la costante di Kaprekar?

La costante di Kaprekar è il numero 6174, che possiede una proprietà straordinaria: è l'unico numero di 4 cifre che, applicando a sé stesso la routine di Kaprekar (la sottrazione tra la disposizione decrescente e quella crescente delle sue cifre), produce di nuovo sé stesso. In termini matematici, è il punto fisso della routine nello spazio dei numeri a 4 cifre:

7641 − 1467 = 6174

Il fatto sorprendente è che qualunque numero di 4 cifre con almeno due cifre diverse converge a 6174 in al massimo 7 iterazioni. La stessa proprietà vale per il numero 495 nello spazio dei numeri a 3 cifre. Nel 1981 i matematici G. D. Prichett e collaboratori dimostrarono rigorosamente che, in base 10, 495 e 6174 sono le uniche costanti di Kaprekar in senso stretto (cioè punti fissi che attraggono tutti i numeri della propria lunghezza).

Chi era D. R. Kaprekar?

Dattatreya Ramchandra Kaprekar (1905 – 1986) è stato un matematico indiano, insegnante scolastico autodidatta attivo nella città di Devlali, nel Maharashtra. È noto per i suoi contributi alla matematica ricreativa e alla teoria dei numeri. Kaprekar descrisse per la prima volta la routine oggi nota con il suo nome nell'articolo "Another Solitaire Game", pubblicato sulla rivista Scripta Mathematica (volume 15, pagine 244-245) nel 1949. Sei anni dopo, nel 1955, tornò sull'argomento con un secondo articolo intitolato proprio "An Interesting Property of the Number 6174".

Perché si arriva sempre a 6174?

La spiegazione risiede nella struttura stessa della sottrazione in colonna. Ad ogni passaggio, i due numeri coinvolti nella sottrazione hanno la stessa somma delle cifre: di conseguenza, ogni risultato intermedio è sempre un multiplo di 9. Lo spazio dei possibili risultati si restringe rapidamente, e la routine finisce per attrarre tutti i numeri verso l'unico punto fisso compatibile con questi vincoli: 6174. È un esempio perfetto di comportamento ricorsivo convergente — un "attrattore" nel linguaggio dei sistemi dinamici.

Proprietà e curiosità

  • I numeri con tutte le cifre uguali (1111, 2222, ...) sono l'unica eccezione: producono 0 al primo passaggio.
  • Per i numeri di 4 cifre la convergenza avviene in al massimo 7 iterazioni secondo la maggior parte delle fonti; in media bastano 4-5 passaggi.
  • Per i numeri di 3 cifre la costante è 495, raggiunta in al massimo 6 iterazioni.
  • Sia 6174 che 495 sono multipli di 9: 6174 = 2 × 3² × 7³; 495 = 3² × 5 × 11.
  • Per numeri di 5 cifre la routine non converge a un punto fisso: finisce in uno di tre cicli noti (o in zero).
  • Per numeri di 6 cifre esistono due punti fissi (549945 e 631764), ma alcuni numeri entrano invece in cicli.

Domande frequenti

Cos'è la costante di Kaprekar?

La costante di Kaprekar è il numero 6174, punto fisso della routine iterativa scoperta dal matematico indiano Dattatreya Ramchandra Kaprekar, che la descrisse in un articolo del 1949 su Scripta Mathematica. Applicando la routine a qualunque numero di 4 cifre con almeno due cifre diverse, si converge sempre a 6174 in al massimo 7 iterazioni.

Come si calcola il 6174?

Si prende un numero di 4 cifre, si riordinano le cifre in ordine decrescente e crescente ottenendo due numeri, si sottrae il minore dal maggiore e si ripete il procedimento sul risultato. In al massimo 7 iterazioni il risultato sarà 6174.

Esiste una costante di Kaprekar per i numeri a 3 cifre?

Sì: è il numero 495. Applicando la stessa routine a un numero di 3 cifre con almeno due cifre diverse, si converge a 495 in al massimo 6 iterazioni. G. D. Prichett e collaboratori dimostrarono nel 1981 che in base 10 le uniche costanti di Kaprekar in senso stretto (punti fissi che attraggono tutti i numeri della propria lunghezza) sono 495 e 6174.

Perché si arriva sempre a 6174?

Perché 6174 è l'unico punto fisso della routine nello spazio dei numeri a 4 cifre: applicando la routine a 6174 si ottiene di nuovo 6174 (7641 − 1467 = 6174). Inoltre ogni risultato intermedio è sempre un multiplo di 9, il che restringe molto lo spazio dei possibili percorsi e tutti i numeri finiscono per confluire nell'unico punto fisso compatibile.

La costante di Kaprekar funziona anche per numeri a 5 o più cifre?

No, non nel senso stretto. Per i numeri a 5 cifre la routine non converge a un unico punto fisso: finisce in uno di tre cicli noti oppure in zero. Per 6 cifre esistono due punti fissi (549945 e 631764) ma non tutti i numeri vi convergono, alcuni entrano in cicli.

Quanti passaggi servono per arrivare al 6174?

Al massimo 7 iterazioni per qualsiasi numero di 4 cifre con almeno due cifre diverse, secondo Wikipedia e la maggior parte delle fonti. MathWorld di Wolfram indica 8 come limite, probabilmente conteggiando diversamente i casi con zeri iniziali. In media bastano circa 4-5 passaggi.

Chi ha scoperto la costante 6174?

Il matematico indiano Dattatreya Ramchandra Kaprekar (1905–1986), che descrisse per la prima volta la routine nell'articolo "Another Solitaire Game" pubblicato su Scripta Mathematica, volume 15, pagine 244-245, nel 1949. Kaprekar tornò sull'argomento con successivi articoli nel 1955 ("An Interesting Property of the Number 6174") e nel 1959.

Cosa succede se inserisco un numero con tutte le cifre uguali?

Un numero con tutte le cifre uguali (come 1111 o 333) dà come risultato 0 al primo passaggio e la routine si ferma. Per questo motivo il calcolatore richiede almeno due cifre diverse.

Per approfondire

I cicli: quando la routine non converge

La routine di Kaprekar non produce sempre una costante. In generale, partendo da un numero con un dato numero di cifre, l'iterazione termina in uno di questi modi: arrivando a zero (se il numero di partenza ha tutte le cifre uguali), arrivando a una costante di Kaprekar (punto fisso), oppure rimanendo intrappolata in un ciclo di numeri che si susseguono ripetendosi.

Per i numeri a 3 e a 4 cifre non ci sono cicli: si finisce sempre in 0, 495 o 6174. Ma già con i numeri a 5 cifre compaiono tre cicli distinti:

  • ciclo di lunghezza 2: { 53955, 59994 }
  • ciclo di lunghezza 4: { 61974, 82962, 75933, 63954 }
  • ciclo di lunghezza 4: { 62964, 71973, 83952, 74943 }

Per i numeri a 6 cifre si arriva a 0, alle costanti 549945 o 631764, oppure a uno di vari cicli. Anche i numeri a 7 cifre producono una varietà di cicli.

Punti fissi della routine in altre lunghezze

Oltre a 495 (3 cifre) e 6174 (4 cifre), la mappa di Kaprekar f(n) = n' − n'' (con n' cifre in ordine decrescente, n'' crescente) ha altri punti fissi in base 10, catalogati nella sequenza OEIS A099009. I primi sono:

  • 3 cifre: 495
  • 4 cifre: 6174
  • 6 cifre: 549945, 631764
  • 8 cifre: 63317664, 97508421
  • 9 cifre: 554999445, 864197532
  • 10 cifre: 6333176664, 9753086421, 9975084201

Attenzione a un punto terminologico importante: questi numeri sono punti fissi della mappa, ma non sono "costanti di Kaprekar" nel senso proprio — perché, tranne 495 e 6174, non attraggono tutti i numeri della propria lunghezza (alcuni entrano in cicli). Prichett, Ludington e Lapenta dimostrarono nel 1981 che 495 e 6174 sono le uniche vere "costanti" in base 10.

L'elenco completo è consultabile sulla On-Line Encyclopedia of Integer Sequences alla voce A099009.

La routine in basi diverse da 10

La routine di Kaprekar si può applicare in qualsiasi base b, non solo in base 10. In ogni base esistono punti fissi e cicli diversi. Lo studio sistematico del comportamento della routine al variare della base e del numero di cifre è un'area di ricerca attiva: Anthony Kay e Katrina Downes-Ward hanno pubblicato nel 2022 e nel 2024, sul Journal of Integer Sequences e su arXiv, classificazioni complete di punti fissi e cicli per basi pari e dispari.

Le sequenze OEIS corrispondenti sono: A163205 (base 2), A164997 (base 3), A165016 (base 4), e così via fino a A099009 (base 10). Un risultato semplice ma elegante: in base 2 ogni "Kaprekar index" (k₀, k₁) con k₀ ≤ k₁ è un punto fisso, e non esistono cicli di lunghezza maggiore di 1.

Fonti e approfondimenti

  • Kaprekar, D. R. — "Another Solitaire Game", Scripta Mathematica, vol. 15, pp. 244-245, 1949.
  • Kaprekar, D. R. — "An Interesting Property of the Number 6174", Scripta Mathematica, 1955.
  • Prichett, G. D.; Ludington, A. L.; Lapenta, J. F. — "The determination of all decadic Kaprekar constants", Fibonacci Quarterly, 19:45-52, 1981.
  • Nishiyama, Yutaka — "Mysterious number 6174", Plus Magazine, 2006. plus.maths.org
  • Kay, Anthony; Downes-Ward, Katrina — "Fixed Points and Cycles of the Kaprekar Transformation", Journal of Integer Sequences, vol. 25, 2022.
  • Weisstein, Eric W. — "Kaprekar Routine" su Wolfram MathWorld. mathworld.wolfram.com
  • OEIS A099009 — Fixed points of the Kaprekar mapping. oeis.org/A099009

A cura di Vincenzo Caserta — appassionato di tutto ció che attira la sua attenzione. Per altri approfondimenti di matematica curiosa, aspetta che venga incuriosito da qualcos'altro 😂.Nel frattempo visita le altre pagine del blog dove troverai approfondimenti su JD Edwards, tecnologia e chissà cos'altro.