Esta é uma calculadora online gratuita da constante de Kaprekar: insira um número de 3 ou 4 dígitos e descubra, passo a passo, como a rotina de Kaprekar o transforma até atingir a constante (6174 para números de 4 dígitos, 495 para números de 3 dígitos).

Realizar o cálculo

Insira um número de 3 ou 4 dígitos (com pelo menos dois dígitos diferentes):

Como calcular a constante de Kaprekar em 4 passos

A rotina de Kaprekar (ou operação de Kaprekar) é um algoritmo iterativo extremamente simples que, aplicado repetidamente, converge para a constante 6174 (para números de 4 dígitos) ou 495 (para números de 3 dígitos). Veja como proceder:

  1. Escolha um número de 3 ou 4 dígitos com pelo menos dois dígitos diferentes (ex.: 3524).
  2. Reorganize os dígitos em ordem decrescente e em ordem crescente, obtendo dois números (5432 e 2345).
  3. Subtraia o número menor do maior (5432 − 2345 = 3087).
  4. Repita o procedimento no resultado. Em no máximo 7 iterações para números de 4 dígitos (6 para números de 3 dígitos) você sempre obterá a constante de Kaprekar.

Exemplo prático: partindo de 3524

Passo 1: 5432 − 2345 = 3087
Passo 2: 8730 − 0378 = 8352
Passo 3: 8532 − 2358 = 6174  ✓

O que é a constante de Kaprekar?

A constante de Kaprekar é o número 6174, que possui uma propriedade extraordinária: é o único número de 4 dígitos que, ao aplicar a rotina de Kaprekar a si mesmo (a subtração entre o arranjo decrescente e o crescente de seus dígitos), produz ele mesmo novamente. Em termos matemáticos, é o ponto fixo da rotina no espaço dos números de 4 dígitos:

7641 − 1467 = 6174

O fato surpreendente é que qualquer número de 4 dígitos com pelo menos dois dígitos diferentes converge para 6174 em no máximo 7 iterações. A mesma propriedade vale para o número 495 no espaço dos números de 3 dígitos. Em 1981 os matemáticos G. D. Prichett e colaboradores demonstraram rigorosamente que, em base 10, 495 e 6174 são as únicas constantes de Kaprekar em sentido estrito (ou seja, pontos fixos que atraem todos os números do seu próprio comprimento).

Quem foi D. R. Kaprekar?

Dattatreya Ramchandra Kaprekar (1905 – 1986) foi um matemático indiano, professor autodidata atuante na cidade de Devlali, em Maharashtra. É conhecido por suas contribuições à matemática recreativa e à teoria dos números. Kaprekar descreveu pela primeira vez a rotina hoje conhecida com seu nome no artigo "Another Solitaire Game", publicado na revista Scripta Mathematica (volume 15, páginas 244–245) em 1949. Seis anos depois, em 1955, voltou ao assunto com um segundo artigo intitulado "An Interesting Property of the Number 6174".

Por que sempre se chega ao 6174?

A explicação reside na própria estrutura da subtração em coluna. A cada passo, os dois números envolvidos na subtração têm a mesma soma dos dígitos: consequentemente, cada resultado intermediário é sempre um múltiplo de 9. O espaço dos resultados possíveis se reduz rapidamente, e a rotina acaba atraindo todos os números para o único ponto fixo compatível com essas restrições: 6174. É um exemplo perfeito de comportamento recursivo convergente — um "atrator" na linguagem dos sistemas dinâmicos.

Propriedades e curiosidades

  • Números com todos os dígitos iguais (1111, 2222, ...) são a única exceção: produzem 0 no primeiro passo.
  • Para números de 4 dígitos a convergência ocorre em no máximo 7 iterações segundo a maioria das fontes; em média bastam 4 a 5 passos.
  • Para números de 3 dígitos a constante é 495, atingida em no máximo 6 iterações.
  • Tanto 6174 quanto 495 são múltiplos de 9: 6174 = 2 × 3² × 7³; 495 = 3² × 5 × 11.
  • Para números de 5 dígitos a rotina não converge para um ponto fixo: termina em um dos três ciclos conhecidos (ou em zero).
  • Para números de 6 dígitos existem dois pontos fixos (549945 e 631764), mas alguns números entram em ciclos.

Perguntas frequentes

O que é a constante de Kaprekar?

A constante de Kaprekar é o número 6174, ponto fixo da rotina iterativa descoberta pelo matemático indiano Dattatreya Ramchandra Kaprekar, que a descreveu em um artigo de 1949 na Scripta Mathematica. Aplicando a rotina a qualquer número de 4 dígitos com pelo menos dois dígitos diferentes, converge-se sempre para 6174 em no máximo 7 iterações.

Como se calcula o 6174?

Pega-se um número de 4 dígitos, reorganizam-se os dígitos em ordem decrescente e crescente obtendo dois números, subtrai-se o menor do maior e repete-se o procedimento no resultado. Em no máximo 7 iterações o resultado será 6174.

Existe uma constante de Kaprekar para números de 3 dígitos?

Sim: é o número 495. Aplicando a mesma rotina a um número de 3 dígitos com pelo menos dois dígitos diferentes, converge-se para 495 em no máximo 6 iterações. G. D. Prichett e colaboradores demonstraram em 1981 que em base 10 as únicas constantes de Kaprekar em sentido estrito (pontos fixos que atraem todos os números do seu próprio comprimento) são 495 e 6174.

Por que sempre se chega ao 6174?

Porque 6174 é o único ponto fixo da rotina no espaço dos números de 4 dígitos: aplicando a rotina a 6174 obtém-se novamente 6174 (7641 − 1467 = 6174). Além disso, cada resultado intermediário é sempre um múltiplo de 9, o que restringe muito o espaço dos caminhos possíveis, e todos os números acabam convergindo para o único ponto fixo compatível.

A constante de Kaprekar funciona também para números de 5 ou mais dígitos?

Não, não no sentido estrito. Para números de 5 dígitos a rotina não converge para um único ponto fixo: termina em um dos três ciclos conhecidos ou em zero. Para 6 dígitos existem dois pontos fixos (549945 e 631764), mas nem todos os números convergem para eles — alguns entram em ciclos.

Quantos passos são necessários para chegar ao 6174?

No máximo 7 iterações para qualquer número de 4 dígitos com pelo menos dois dígitos diferentes, segundo a Wikipédia e a maioria das fontes. O MathWorld da Wolfram indica 8 como limite, provavelmente contando de forma diferente os casos com zeros iniciais. Em média cerca de 4 a 5 passos são suficientes.

Quem descobriu a constante 6174?

O matemático indiano Dattatreya Ramchandra Kaprekar (1905–1986), que descreveu a rotina pela primeira vez no artigo "Another Solitaire Game" publicado na Scripta Mathematica, volume 15, páginas 244–245, em 1949. Kaprekar voltou ao assunto com artigos posteriores em 1955 ("An Interesting Property of the Number 6174") e em 1959.

O que acontece se eu inserir um número com todos os dígitos iguais?

Um número com todos os dígitos iguais (como 1111 ou 333) dá como resultado 0 no primeiro passo e a rotina para. Por isso a calculadora exige pelo menos dois dígitos diferentes.

Para se aprofundar

Os ciclos: quando a rotina não converge

A rotina de Kaprekar nem sempre produz uma constante. Em geral, partindo de um número com um dado número de dígitos, a iteração termina de uma destas formas: chegando a zero (se o número de partida tem todos os dígitos iguais), chegando a uma constante de Kaprekar (ponto fixo), ou ficando presa em um ciclo de números que se sucedem repetindo-se.

Para números de 3 e de 4 dígitos não há ciclos: sempre se termina em 0, 495 ou 6174. Mas já com os números de 5 dígitos surgem três ciclos distintos:

  • ciclo de comprimento 2: { 53955, 59994 }
  • ciclo de comprimento 4: { 61974, 82962, 75933, 63954 }
  • ciclo de comprimento 4: { 62964, 71973, 83952, 74943 }

Para números de 6 dígitos chega-se a 0, às constantes 549945 ou 631764, ou a um dos vários ciclos. Números de 7 dígitos também produzem uma variedade de ciclos.

Pontos fixos da rotina em outros comprimentos

Além de 495 (3 dígitos) e 6174 (4 dígitos), o mapa de Kaprekar f(n) = n' − n'' (com n' dígitos em ordem decrescente, n'' crescente) tem outros pontos fixos em base 10, catalogados na sequência OEIS A099009. Os primeiros são:

  • 3 dígitos: 495
  • 4 dígitos: 6174
  • 6 dígitos: 549945, 631764
  • 8 dígitos: 63317664, 97508421
  • 9 dígitos: 554999445, 864197532
  • 10 dígitos: 6333176664, 9753086421, 9975084201

Atenção a um ponto terminológico importante: esses números são pontos fixos do mapa, mas não são "constantes de Kaprekar" no sentido próprio — porque, exceto 495 e 6174, não atraem todos os números do seu próprio comprimento (alguns entram em ciclos). Prichett, Ludington e Lapenta demonstraram em 1981 que 495 e 6174 são as únicas verdadeiras "constantes" em base 10.

A lista completa pode ser consultada na On-Line Encyclopedia of Integer Sequences na entrada A099009.

A rotina em bases diferentes de 10

A rotina de Kaprekar pode ser aplicada em qualquer base b, não apenas em base 10. Em cada base existem pontos fixos e ciclos diferentes. O estudo sistemático do comportamento da rotina em função da base e do número de dígitos é uma área de pesquisa ativa: Anthony Kay e Katrina Downes-Ward publicaram em 2022 e em 2024, no Journal of Integer Sequences e no arXiv, classificações completas de pontos fixos e ciclos para bases pares e ímpares.

As sequências OEIS correspondentes são: A163205 (base 2), A164997 (base 3), A165016 (base 4), e assim por diante até A099009 (base 10). Um resultado simples mas elegante: em base 2 todo "índice de Kaprekar" (k₀, k₁) com k₀ ≤ k₁ é um ponto fixo, e não existem ciclos de comprimento maior que 1.

Fontes e aprofundamentos

  • Kaprekar, D. R. — "Another Solitaire Game", Scripta Mathematica, vol. 15, pp. 244–245, 1949.
  • Kaprekar, D. R. — "An Interesting Property of the Number 6174", Scripta Mathematica, 1955.
  • Prichett, G. D.; Ludington, A. L.; Lapenta, J. F. — "The determination of all decadic Kaprekar constants", Fibonacci Quarterly, 19:45–52, 1981.
  • Nishiyama, Yutaka — "Mysterious number 6174", Plus Magazine, 2006. plus.maths.org
  • Kay, Anthony; Downes-Ward, Katrina — "Fixed Points and Cycles of the Kaprekar Transformation", Journal of Integer Sequences, vol. 25, 2022.
  • Weisstein, Eric W. — "Kaprekar Routine" no Wolfram MathWorld. mathworld.wolfram.com
  • OEIS A099009 — Fixed points of the Kaprekar mapping. oeis.org/A099009

Por Vincenzo Caserta — apaixonado por tudo que chama sua atenção. Para mais curiosidades matemáticas, espere até que ele se sinta intrigado por algo novo. 😂 Enquanto isso, visite as outras páginas do blog, onde você encontrará detalhes sobre JD Edwards, tecnologia e quem sabe o que mais.